Existence of a solution for an unsteady elasticity problem in large displacement and small perturbation

In this Note we present a model for an unsteady pure traction problem in large displacement and small perturbation for an elastic body in dimension 2, and we show the existence of a solution to the associated problem. The weak formulation of this nonlinear problem involves test-functions depending on the solution, which is not standard. We then study the dynamic of the translation, of the rotation, and of the perturbation associated to the deformation of the body. We prove the existence of a weak solution using a Galerkin method. To cite this article: C. Grandmont et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 334 (2002) 521–526.  2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS Existence d’une solution pour un modèle d’élasticité instationnaire en grands déplacements et petites perturbations Résumé Nous présentons dans cette Note la modélisation et l’analyse d’un problème d’élasticité instationnaire en grands déplacements et petites perturbations pour un corps non-encastré en dimension 2. La formulation faible de ce problème non-linéaire utilise des fonctionstests dépendant de la solution. Nous étudions alors la dynamique de la translation, de la rotation et de la perturbation associées à la déformation du corps élastique. Nous montrons l’existence d’une solution faible au problème par une méthode de Galerkin. Pour citer cet article : C. Grandmont et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 334 (2002) 521–526.  2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS Version française abrégée Nous présentons dans cette Note la modélisation et l’analyse d’un problème d’élasticité instationnaire en grands déplacements et petites perturbations pour un corps non-encastré en dimension 2. La configuration de référence de ce solide déformable est un ouvert borné de R2 à frontière lipschitzienne, noté ; son centre de gravité est noté G. Nous recherchons la déformation φ du corps sous la forme φ = τ +Rθ (−→ Gξ + d(ξ)) E-mail addresses: [email protected] (C. Grandmont); [email protected] (Y. Maday); [email protected] (P. Métier).  2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés S1631-073X(02)02300-2/FLA 521 C. Grandmont et al. / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 334 (2002) 521–526 pour ξ ∈ , où τ est une translation de R2, R = Rθ = (cosθ −sin θ sinθ cos θ ) est une rotation d’angle θ ∈ R, et d est une application de dans R2 appelée perturbation. Nous justifions en premier lieu cette décomposition. Pour cela nous introduisons, pour s 0, les ensembles présentés en (1), et Zs = R2 ×R/2πZ× Ys . Dans ce qui suit, nous ne distinguerons pas les espaces de Sobolev H( ) à valeurs dans R de ceux à valeurs dans R2. Énonçons maintenant le résultat préliminaire suivant : PROPOSITION 0.1. – (i) L’application A : R2 ×R× L2( )−→ L2( ), (τ, θ,d) −→ φ = τ +Rθ (−→ Gξ + d) est une bijection de Zs sur Xs de classe C∞. (ii) De plus A est un C1-difféomorphisme. Soient (τ, θ,d) ∈ Zs , φ =A(τ, θ,d) ∈ Xs et v ∈ H ( ), alors nous avons [D(A−1)](φ) · v = (τ, θ,d)T avec les expressions de τ , θ et d données en (2) et (3). Soit maintenant un temps T > 0. Nous considérons la déformation instationnaire φ(·, t) d’un corps hyperélastique non-encastré, dont la configuration de référence est un état naturel. D’après la Proposition 0.1, la déformation peut s’écrire de manière unique selon (4) pour presque tout t ∈ (0, T ). Nous considérons par ailleurs le déplacement u = φ − idR2 . En partant d’un modèle élastique de Saint Venant–Kirchhoff valable dans le cas de grands déplacements et de petites déformations, et en remarquant que l’énergie mécanique associée ne dépend que de d, nous obtenons, après linéarisation au premier ordre en ∇d, la formulation faible (6) du problème. Dans cette formulation, les fonctions-tests dépendent de la solution du problème, ce qui est non-standard. Énonçons le résultat principal d’existence suivant : THÉORÈME 0.2. – Soient u0 ∈ H1( ) tel que u0 + −→ Oξ ∈ X1, u1 ∈ L2( ), et les forces f ∈ L2(0, T ;L2( )) et g ∈ H1(0, T ;H−1/2(∂ )) ∩ L2(0, T ;L1(∂ )). Si ces données sont assez petites ou si le temps T est assez petit, alors il existe une solution u ∈ H2(0, T ; (E1)′) ∩ W1,∞(0, T ;L2( )) ∩ L∞(0, T ;H1( )) au système (7), telle que φ(·, t) = u(·, t) + id R2 ∈ X1 pour presque tout t ∈ (0, T ), et avec la perturbation d définie dans la Proposition 0.1 à partir de φ. De plus, si f ∈ L2(0,∞;L2( )) et g ∈ H1(0,∞;H−1/2(∂ )) ∩ L2(0,∞;L1(∂ )), alors la solution u existe sur [0, T ∗[ avec T ∗ = sup{t > 0; d(·, t) ∈ Y0}. La démonstration repose sur la décomposition (9) de H1( ) et la projection de l’équation de la formulation faible sur chacun des sous-espaces de cette décomposition. Nous sommes alors ramenés à étudier la dynamique de la translation τ , de la rotation Rθ et de la perturbation d associées à la déformation φ. Nous utilisons ensuite une méthode de Galerkin pour montrer l’existence d’une solution faible satisfaisant cette formulation équivalente de notre problème. In this Note we present a model for an unsteady pure traction problem in large displacement and small perturbation for an elastic body in dimension 2, and we show existence of a weak solution to the associated problem.